В конусе проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 120о. Высота конуса равна 12см, расстояние секущей плоскости от оси конуса равно 3 см. Вычислите площадь сечения.
С рисунком!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия известно, что у нас есть конус, высота которого равна 12 см, и сечение проведено плоскостью, параллельной оси и отсекающей от окружности основания дугу в 120º. Расстояние этой плоскости от оси конуса равно 3 см.

Построим сечение конуса:

[Конус с сечением]

Так как сечение проведено параллельно оси, у нас образуется трапеция. Высота трапеции равна высоте конуса (12 см), одна сторона трапеции равна радиусу основания конуса, а другая сторона - радиусу, отсекаемому плоскостью.

Рассмотрим треугольник, образованный центром основания конуса, вершиной конуса и точкой пересечения сечения с окружностью:
[Большой треугольник на сечении конуса]

Этот треугольник является равнобедренным, так как две его стороны равны радиусу конуса. Угол при вершине (центре основания) равен 120º.

Так как у нас равнобедренный треугольник, угол у основания также равен 120º.

Обозначим радиус основания конуса за R. Из условия известно, что отрезок, отсекаемый плоскостью, равен 3 см. Обозначим его за r.

Так как у нашего равнобедренного треугольника угол у основания равен 120º, у нашей трапеции угол при большем основании (R) будет 60º.

Теперь мы можем разделить нашу трапецию на два треугольника:
[Трапеция с разделением на треугольники]

Мы видим, что у нас образовались два равнобедренных треугольника с углами 60º и стороной R. Таким образом, боковые стороны трапеции равны R, а основания - R и r. Площадь одного треугольника можно вычислить как: (1/2) R^2 sin(60º).

Площадь одного треугольника равна (1/2) R^2 sin(60º), учитывая то, что у нас их два, получаем, что площадь сечения равна:
S = R R sin(60º) = R^2 * sqrt(3) / 2.

Теперь перейдем к нахождению R. Мы можем использовать теорему Пифагора для большого треугольника на сечении конуса:
R^2 + (12 - 3)^2 = R^2 + 81 = R^2 + 81 = R^2 + 81.

Таким образом, R^2 = 81 и R = 9.

Подставляем найденное значение R в формулу для площади сечения:
S = 9^2 sqrt(3) / 2 = 81 sqrt(3) / 2 ≈ 70.03 см^2.

Ответ: площадь сечения равна примерно 70.03 см^2.