Дан куб ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра 1 ед. изм.
На ребре A1D1 находится точка M — так, что A1M:MD1=1:3.
Определи синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью(BB1D1D).
(числитель — целое число, не под знаком корня, а знаменатель - под корнем).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длины отрезков AM и MD1.
Поскольку A1M:MD1=1:3, то AM = (1/4)AD1 = (1/4)sqrt(2).

Теперь посмотрим на плоскость (BB1D1D). Она проходит через точки B, B1, D и D1, и ее направляющий вектор можно найти как векторное произведение векторов BB1 и BD.
BB1 = B1 - B = (1 - 0)i + (1 - 1)j + (0 - 0)k = i, а
BD = D1 - B = (1 - 0)i + (1 - 1)j + (1 - 0)k = i + k.

Теперь находим векторное произведение:
n = BB1 x BD = i x (i + k) = (0 - 0) i - (0 - 1) j + (1 - 0) k = -j + k.

Теперь найдем угол между вектором AM и вектором n по формуле синуса угла между векторами:
sin(ϕ) = |n x AM| / (|n||AM|) = |(-j + k) x ((1/4)sqrt(2)i)| / (sqrt(2)sqrt(2+1)/4) = ((1/4)sqrt(2))/sqrt(2)sqrt(2+1)/4 = 1/4 sqrt(3)
sin(ϕ) = sqrt(3) / 4

Итак, синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D) равен sqrt(3)/4.