ТЕМА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
В правильном тетраэдре ABCD проведите плоскость, перпендикулярную
ребру AB.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала, докажем, что в прямоугольном тетраэдре ABCD плоскость, перпендикулярная ребру AB, проходит через середину ребра AB.

Итак, рассмотрим треугольник ABC. По условию, ребро AB является основанием прямоугольного тетраэдра ABCD, а BC - его боковой гранью. Так как тетраэдр ABCD правильный, то у него все боковые грани равны, а значит треугольник ABC равнобедренный. Обозначим середину ребра AB как O, тогда AO = BO (по определению середины отрезка). Так как треугольник ABC равнобедренный, то и углы у основания равны, то есть углы BAC и ABC равны. Следовательно, треугольники АOB и ВОА равны по стороне, общему углу и углу между равными сторонами. Значит, треугольники равны, следовательно OC = OA = OB. Таким образом, плоскость, проходящая через середину ребра AB, будет перпендикулярна ребру AB.

Теперь осталось только провести плоскость через середину ребра AB, перпендикулярно ему. Получим плоскость, которая будет перпендикулярна ребру AB и проходящая через все точки, которые находятся на равном расстоянии от прямых, образованных ребром AB.