Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы лежит между основаниями высоты и медианы, которые проведены из той же вершины

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим данное нам неравнобедренный треугольник ABC, где AB ≠ AC.

Проведем высоту AD и медиану AM из вершины A. Пусть точка пересечения биссектрисы угла A с стороной BC обозначается как K.

Так как треугольник ABC неравнобедренный, то AD ≠ AK и AM ≠ AK.

Теперь рассмотрим треугольник ADB и трапецию AKDM:

Так как AK — биссектриса угла A, то угол BAK = угол CAK. Так как AD — высота, то угол ADB = 90 градусов и угол AKD = 90 градусов.Так как AM — медиана, то BD = DC и AM = MC.

Таким образом, у нас есть следующие равенства углов:

угол BAK = угол CAK,
угол ADB = угол AKD.

Из этих равенств следует, что треугольник ADB подобен треугольнику AKD по стороне AD и общему углу при вершине A (по признаку угл-признаку).

Таким образом, AD/AK = DB/DK.

Теперь рассмотрим треугольник ADB и трапецию AKDM:

BD = DC (так как AM — медиана) и AD = DM.

Теперь по теореме о трех равных углах в треугольниках получаем, что треугольники ABD и AKD равны.

Теперь мы знаем, что DK = BD и DC = AK, так как треугольники равны, а значит, биссектриса AK делит сторону BC на отрезки DK и KC.

Таким образом, биссектриса AK лежит между высотой AD и медианой AM, проведенными из вершины A.

Таким образом, утверждение доказано.