В правильную шестиугольную призму со стороной основания 1. вписана сфера.найдите высоту призмы

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи, найдем радиус сферы, вписанной в правильную шестиугольную призму.

Радиус сферы, вписанной в призму, равен половине высоты призмы (h) и равен расстоянию от центра призмы до середины одной из сторон призмы.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной радиусу сферы, и катетами, равными стороне призмы и половине высоты призмы, имеем:
(r^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{h}{2})^2),
(r = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{h}{2})^2}),
(r = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{h^2}{4}}),
(r = \sqrt{\frac{h^2 + 3}{4}} ).

Так как радиус сферы равен половине высоты призмы, то (r=\frac{h}{2}), поэтому:
(\frac{h}{2} = \sqrt{\frac{h^2 + 3}{4}}),
Решив уравнение, найдем значение высоты призмы:
(h = \frac{\sqrt{3}}{3} ).

Таким образом, высота правильной шестиугольной призмы равна (h = \frac{\sqrt{3}}{3}).