Дан параллелограмм ABCD. F лежит на AB так, что FB=2AF. K лежит на AD так, что KD=2AK. Площадь треугольника CFK равна 90. Найти площадь параллелограмма.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим стороны параллелограмма следующим образом: AB = a, BC = b. Пусть AF = x, FB = 2x, AK = y, KD = 2y.

Так как F лежит на AB, то AF + FB = a, отсюда x + 2x = a, следовательно, х = a/3. Аналогично, y = AK = a/3.

Теперь рассмотрим треугольник FCK. Этот треугольник — часть параллелограмма ABCD, поэтому площадь FCK составляет 90. Мы можем найти площадь FCK, используя формулу для площади треугольника через стороны и высоту:

S(FCK) = CK FK / 2 = BC h / 2.

Поскольку BC = b, мы можем представить h как:

h = CD * sin(угол DCF),

но так как угол DCF = угол BAF, который также равен углу B, из параллельности AD и BC, то sin(угла DCF) = sin(угла B) = h / b.

Таким образом, h = b * sin(B).

Теперь мы можем записать:

90 = b b sin(B) / 2,

отсюда b^2 * sin(B) = 180.

Так как F лежит на AB, то углы BAF и BDA являются соответственными углами и равны. Поэтому в параллелограмме BD = AC = b, следовательно, AD = 2 y = 2/3 a.

Теперь мы можем найти sin угла B, записав sin(B) = h / b = a / (2/3 * a) = 3/2.

Подставим sin(угла B) в уравнение b^2 sin(B) = 180:
b^2 3/2 = 180,
3/2 b^2 = 180,
b^2 = 120,
b = 2 sqrt(30).

Так как противолежащие стороны параллелограмма равны, то и AC = BD = 2 * sqrt(30).

Площадь параллелограмма равна произведению диагоналей, деленному на 2, т.е.
S(ABCD) = AC BD / 2 = (2 sqrt(30))^2 / 2 = 120.