Высота BD равнобедренного треугольника ABC(AB=BC) делит его биссектрису AE на два отрезка, длины которых относятся как 23:13. Найти площадь треугольника ABC, если известно, что BD=12 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим высоту равнобедренного треугольника ABC как h, а длину стороны треугольника AB (которая равна BC) как a.

Так как BD является высотой, то треугольник ABD также является равнобедренным. Так как BD = 12 см и треугольник ABD равнобедренный, то AD = DC = 12 см. Пусть AE = x - длина биссектрисы, тогда BE = EC = h - x.

Из условия задачи имеем
x = 23
h - x = 13k

где k - некоторое число. Таким образом, h = 36k.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. Из полученных выше соотношений получаем
AB^2 = AE^2 + BE^
a^2 = x^2 + (h - x)^
a^2 = (23k)^2 + (36k - 23k)^
a^2 = 529k^2 + 169k^
a^2 = 698k^2

Таким образом, сторона треугольника AB равна
a = √(698)k

Площадь треугольника ABC равна
S = 1/2 AB
S = 1/2 √(698)k 36
S = 18√(698)k^2

Теперь найдем значение k. Используем равенство
h = 36k

36k = 3
k = 1

Таким образом, S = 18√698 см^2.