№3. Все плоские углы при вершине S пирамиды SACBD равны 60°. Около этой пирамиды описан конус с радиусом основания √3 и вершиной S. На меньшей дуге BC, окружности основания конуса, выбрана точка P. Найдите расстояние от точки P до плоскости SAB, если объём пирамиды SABPCD наибольший.!!!!!!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти расстояние от точки P до плоскости SAB, нам нужно определить координаты точки P и вектор нормали к плоскости SAB.

По условию, все плоские углы при вершине S пирамиды SACBD равны 60°. Так как пирамида правильная, углы основания также равны 60°. Значит, треугольник ABC является равносторонним.

Так как радиус основания конуса √3, а угол при вершине конуса (угол BSC) равен 60°, то высота конуса равна 2.

Теперь определим координаты точки P на окружности основания конуса. Поскольку радиус равен √3, а угол BSC равен 60°, получаем, что координаты точки P равны (3/2, 1/2).

Далее нам нужно найти уравнение плоскости SAB. Поскольку SAB — равносторонний треугольник, его вершины S, A и B лежат на единичной окружности с центром в начале координат. Уравнение плоскости SAB будет иметь вид: x + y + z = 1.

Теперь найдем вектор нормали к плоскости SAB. Поскольку координаты вектора нормали к плоскости равны коэффициентам при x, y и z уравнения плоскости, нормальный вектор будет равен (1, 1, 1).

Для нахождения расстояния от точки P до плоскости SAB воспользуемся формулой: d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2), где (A, B, C) — координаты вектора нормали к плоскости, (x, y, z) — координаты точки P и D — свободный член уравнения плоскости.

Подставим координаты точки P и координаты вектора нормали в формулу и найдем расстояние от точки P до плоскости SAB:

d = |1 (3/2) + 1 (1/2) + 1 * (0) + 1| / √(1^2 + 1^2 + 1^2) = |3/2 + 1/2 + 1| / √3 = |5/2| / √3 = 5 / (2√3) = 5√3 / 6.

Таким образом, расстояние от точки P до плоскости SAB равно 5√3 / 6.