№3. Все плоские углы при вершине S пирамиды SACBD равны 60°. Около этой пирамиды описан конус с радиусом основания √3 и вершиной S. На меньшей дуге BC, окружности основания конуса, выбрана точка P. Найдите расстояние от точки P до плоскости SAB, если объём пирамиды SABPCD наибольший.....

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи обозначим высоту пирамиды как h, исходя из геометрии пирамиды SACBD, выразим h через радиус R описанной окружности:

h = R*sqrt(3)

Теперь обозначим расстояние от точки P до плоскости SAB как x. Для нахождения объема пирамиды SABPCD воспользуемся формулой:

V = (1/3)Sh,

где S - площадь основания, а h - высота.

Так как SABP - четырехугольник, то его площадь можно разложить на два треугольника SAB и BSP. Площадь треугольника равна:

S(треугольника) = 0.5 a b * sin(угол),

где a и b - стороны треугольника, а sin(угол) - синус угла между ними. В данном случае у нас прямоугольный треугольник, поэтому задача сводится к нахождению sin(угла). Поскольку все углы при вершине S равны 60 градусов, то в прямоугольном треугольнике:

sin(60) = a / R,

где R - радиус окружности. Тогда:

a = R sin(60) = R sqrt(3) / 2.

Теперь найдем площадь основания:

S = 0.5 a b = 0.5 R sqrt(3) / 2 R = (3/4) R^2.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу для объема пирамиды:

V = (1/3) (3/4) R^2 R sqrt(3) = R^3 sqrt(3) (1/4).

Таким образом, для максимизации объема пирамиды SABPCD, необходимо максимизировать значение R. Из условия задачи, радиус основания конуса равен sqrt(3), следовательно, R = sqrt(3).

Теперь найдем расстояние x от точки P до плоскости SAB. Создадим прямоугольный треугольник BSP, где BS = h и SP = x. Тогда:

x = sqrt(BS^2 - BP^2) = sqrt((sqrt(3))^2 - (sqrt(3))^2) = sqrt(3 - 3) = 0.

Таким образом, расстояние от точки P до плоскости SAB равно 0.