№3. Все плоские углы при вершине S пирамиды SACBD равны 60°. Около этой пирамиды описан конус с радиусом основания √3 и вершиной S. На меньшей дуге BC, окружности основания конуса, выбрана точка P. Найдите расстояние от точки P до плоскости SAB, если объём пирамиды SABPCD наибольший.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку все плоские углы при вершине S равны 60°, то треугольник SAB - равносторонний. Пусть сторона треугольника SAB равна a.

Обозначим через H высоту пирамиды SACBD, опущенную из вершины S на основание ABCD. Тогда объём пирамиды выражается формулой V = 1/3 S H, где S - площадь основания пирамиды.

Площадь треугольника SAB равна S = (a^2 * √3) / 4.

Теперь найдем высоту H пирамиды. Поскольку угол между биссектрисой и основанием конуса равен 60°, а радиус конуса равен √3, то высота H равна 2 * √3.

Таким образом, V = 1/3 (a^2 √3) / 4 * 2√3 = a^2 / 12√3.

Пусть d - искомое расстояние от точки P до плоскости SAB.

Так как точка P находится на меньшей дуге BC окружности основания конуса, то d = √3 - OP, где OP - расстояние от точки P до вершины S.

Таким образом, объём пирамиды SABPCD равен V = 1/3 a S * d = a^3 / 36.

Для максимизации объема пирамиды нужно максимизировать значение a^3. Следовательно, a должна быть максимальной возможной длиной стороны треугольника SAB, то есть a = 2√3.

Из выражения d = √3 - OP следует, что OP = √3 - d.

Так как длина BS равна 2√3, то из треугольника BSP следует, что d / √3 = OP / BS. То есть OP = (d * √3) / 3.

Следовательно, √3 - d = (d * √3) / 3, откуда d = 3√3 / 4.

Итак, расстояние от точки P до плоскости SAB равно 3√3 / 4.