№3. Все плоские углы при вершине S пирамиды SACBD равны 60°. Около этой пирамиды описан конус с радиусом основания √3 и вершиной S. На меньшей дуге BC, окружности основания конуса, выбрана точка P. Найдите расстояние от точки P до плоскости SAB, если объём пирамиды SABPCD наибольший.???!!!???

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи нам нужно найти точку P на окружности BC такую, что объем пирамиды SABPCD был бы максимальным
Поскольку все плоские углы при вершине S равны 60°, то треугольник SAB является равносторонним. Обозначим сторону равностороннего треугольника AB = a
Так как в пирамиде SABPCD все грани равнобедренные, то PC = PD = a√3/2 (так как PC и PD - высоты пирамиды). Следовательно, PB = a/2
Теперь обратимся к пирамиде SABPCD. Объем пирамиды равен V = 1/3 S h, где S - площадь основания, а h - высота пирамиды
Площадь треугольника ABC равна S = (a^2 sqrt(3)) / 4, а h = PC = asqrt(3)/2
Таким образом, V = 1/3 (a^2 sqrt(3) / 4) (a sqrt(3) / 2) = a^3 / (4 sqrt(3))
Нам нужно найти такую точку P, при которой V будет максимальным
Воспользуемся знаниями про равносторонний треугольник: сумма расстояний от вершины до сторон треугольника равна высоте этого треугольника. Тогда S - площадь треугольника ABC, площадь которого равна 0.5bcsinA (b и с - стороны треугольника, A - угол между ними), равна S = (a^2 sqrt(3)) / 4 = a^2 sqrt(3) / 2 sin60 = a^2 sqrt(3) / 4
Таким образом, h = asqrt(3) / 2 = a sqrt(3) / 2 (a/2) / P, где P - расстояние от точки P до плоскости SAB
Таким образом, P = a/4.

Ответ: расстояние от точки P до плоскости SAB составляет a/4.