№3. Все плоские углы при вершине S пирамиды SACBD равны 60°. Около этой пирамиды описан конус с радиусом основания √3 и вершиной S. На меньшей дуге BC, окружности основания конуса, выбрана точка P. Найдите расстояние от точки P до плоскости SAB, если объём пирамиды SABPCD наибольший.///

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку все плоские углы при вершине S пирамиды равны 60°, то имеем равностороннюю пирамиду SABCD.

Поскольку PC - высота пирамиды, то объем равно V = (1/3) S h, где S - основание пирамиды, х - высота.

Так как S = (3√3)² = 9, получаем V = 3

Обозначим h = PS, тогда объем пирамиды равен V = (1/3) S h = 3 => h = 1.

Требуется найти расстояние PS от точки P до плоскости SAB.

Поскольку угол PSR = 90°, где R - основание конуса, получаем, что треугольник PCS прямоугольный.

Так как RS = 3 - PS, RQ = 3 - SQ, R - центр основания конуса, тогда получается, что PQR - тоже равносторонний треугольник.

Отсюда PQ = 6/(√3) - 2 - расстояние от вершины конуса до точки P.

По теореме Пифагора исходя из равнобедренности треугольника PAB, где H - середина AB, по Z пифагора получаем: (PS)² = PQ² - (AH)².

Так как угол τ равен 150°, то AH = (1/2)PS, относительно чего можно составить уравнение.

Следовательно, PS = SQ + QP = (AH) + √3 = 1 + √3.

Ответ: 1 + √3