№3. Все плоские углы при вершине S пирамиды SACBD равны 60°. Около этой пирамиды описан конус с радиусом основания √3 и вершиной S. На меньшей дуге BC, окружности основания конуса, выбрана точка P. Найдите расстояние от точки P до плоскости SAB, если объём пирамиды SABPCD наибольший.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи обозначим: А — центр основания конуса, M — середина отрезка BC, F — проекция точки P на плоскость SAB, h — высота конуса, R — радиус основания пирамиды. Тогда треугольник ASF — равнобедренный, поэтому AS = AF = h.

Также заметим, что объём пирамиды SABPCD равен объёму пирамиды SACBD, так как они имеют равные высоты и основания.

Обозначим x — длину отрезка AP. Тогда объем объём пирамиды SABPCD равен (1/3)SABh, а объем пирамиды SACBD равен (1/3)SACh, где SAB и SAC — площади оснований пирамид.

Так как все углы при вершине S равны 60°, то треугольники SAB и SAC — равносторонние, и их площади равны (см. замечание к первой задаче).

Отсюда получаем, что объём пирамиды SABPCD равен (1/3)Sh = (1/3) х S h, где h — радиус основания конуса, то есть √3. Итак, объем равен (√3/3)хS.

Также заметим, что треугольник ABP — равнобедренный, поэтому AF = FP = √3.

Из свойства подобных треугольников ASB и ABP, имеем SB / x = AS / FP , откуда SB = AX * h / √3 = x .

Из подобия треугольников AMP и MSP следует, что MP / MS = PA / SB, откуда MP = MS PA / SB = x (x-AP) / SB = (x (√3 - x)) / √6.

Для максимизации объема необходимо максимизировать объём SABPCD, то есть максимизировать x * S. Поскольку площади оснований пирамид равны (SAB = SAC), то нужно максимизировать x.

Итак, расстояние от точки P до плоскости SAB равно √3.