№3. Все плоские углы при вершине S пирамиды SACBD равны 60°. Около этой пирамиды описан конус с радиусом основания √3 и вершиной S. На меньшей дуге BC, окружности основания конуса, выбрана точка P. Найдите расстояние от точки P до плоскости SAB, если объём пирамиды SABPCD наибольший.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим пирамиду SABPCD с высотой h и площадью основания S.

Объём пирамиды можно выразить следующим образом:

V = (1/3) S h.

Так как у нас дано, что все плоские углы при вершине S равны 60 градусов, то треугольник SAB является равносторонним, и значит его высота равна:

h = AB * sqrt(3) / 2.

Теперь можем записать объём пирамиды через сторону основания AB:

V = (1/3) (AB^2 sqrt(3) / 4) h = (sqrt(3) / 12) AB^2 * h.

Найдем расстояние от точки P до плоскости SAB. Поскольку точка P лежит на меньшей дуге BC, а основание конуса является окружностью с радиусом √3, то расстояние от точки P до SAB будет равно радиусу окружности, то есть √3.

Теперь нам нужно найти AB, при котором объём пирамиды SABPC наибольший. Для этого найдем производную объема пирамиды по AB и приравняем ее к нулю:

dV/dAB = 0.

dV/dAB = (2 sqrt(3) / 12) AB * h.

Так как h не равно нулю, то dV/dAB = 0, когда AB = 0, то есть при минимальной длине стороны.

Следовательно, объем пирамиды SABPCD будет максимальным, когда сторона основания AB равна 0, то есть когда SAB - это точка, а объем будет равен нулю.