Из точки A к окружности радиусом R проводится касательная AM (M — точка касания). Секущая, проходящая через точку A, пересекает окружность в точках K и L, причём L — середина отрезка AK, а угол AMK равен 45 градусов. Найдите площадь треугольника AMK.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку L — середина отрезка AK, то AL = LK = R/2. Поскольку угол AMK = 45 градусов, то треугольник AMK является прямоугольным. Пусть AK = x, тогда AM = x, MK = x/√2.

Теперь мы можем составить уравнение для получения значения x
AM^2 + MK^2 = AK^
x^2 + (x/√2)^2 = (2R)^
x^2 + x^2/2 = 4R^
3x^2/2 = 4R^
x = 2R/√3

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника AMK
S = (1/2) x x/√
S = (1/2) (2R/√3) (2R/√3)/√
S = 2R^2 / 3√2

Итак, площадь треугольника AMK равна 2R^2 / 3√2.