В треугольнике ABC медиана BM равна стороне AC. На продолжениях сторон BA и BC за точки A и C соответственно выбраны точки D и E такие, что AD=AB и CE=BC. Известно, что ∠ABC=52∘. Найдите ∠ADM+∠CEM.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точку M — середину стороны AC, то есть AM = MC.

Так как MB = AC, то треугольник MBD также является равносторонним треугольником (правило о равных сторонах и углах между ними). Значит, ∠MBD = 60°.

Теперь заметим, что треугольник BAD также является равносторонним (AD = AB). Значит, ∠BAD = 60°, а ∠BAM = 120° - 60° = 60°.

Теперь рассмотрим треугольник CME. Так как CE = BC, то ∠CME = ∠ECM. Поэтому найдем угол ∠ECM. Заметим, что ∠ECD = 180° - ∠BCD - ∠BCE = 180° - 104° - 52° = 24°. Но так как CE = BC, то треугольник CBE является равнобедренным, поэтому ∠ECM = ∠CED = (180° - ∠ECD)/2 = 78°.

Итак, ∠ADM + ∠CEM = 60° + 78° = 138°.