В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 6. Точки M и N – середины рёбер SA и SB соответственно. Через прямую MN перпендикулярно основанию пирамиды построена плоскость. Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABCD этой плоскостью.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем высоту четырехугольной пирамиды.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SAM. Найдем его высоту AM с помощью теоремы Пифагора:
AM^2 = SA^2 - SM^2 = 6^2 - (AB/2)^2 = 36 - 4 = 32
AM = √32 = 4√2

Теперь найдем высоту пирамиды от вершины S до плоскости, проходящей через прямую MN.
Так как треугольник SAM прямоугольный, то точка H – середина гипотенузы AM. Треугольники HAC и HSM подобны, значит:
AH/HS = AC/SM
AH/(AB/2) = SC/6
AH = ACAB/2SM = 44/(2*4) = 1

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AJN, где J – точка пересечения высоты спрямоугольного треугольника SAN, опущенной из вершины S на ребро AB, и прямой, параллельной прямой MN и проходящей через точку N.
Из подобия треугольников JAC и JAN найдем высоту AJ:
AC/AN = JC/JN
4/(4-x) = 1/x
x = 2
AJ = 2

Теперь находим периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через прямую MN.
Периметр многоугольника равен сумме длин отрезков, на которые основание AB пирамиды делится плоскостью, параллельной плоскости основания пирамиды и проходящей через прямую MN.
Поделим отрезок AB на отрезки AJ и JB, где AJ = 2, JB = 4-2 = 2. Тогда периметр многоугольника равен 2+2+2+2 = 8.

Таким образом, периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через прямую MN и перпендикулярно основанию, равен 8.