В параллелограмме ABCD сторона AD равна 8. Окружность, касающаяся сторон AB и BC, проходит через точку D и пересекает стороны AD и CD в точках P и Q соответственно. Известно, что AP:PD=4:5 и CQ:QD=1:8. Найдите длину стороны AB.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка касания окружности со стороной AB обозначается как E, а точка касания окружности со стороной BC обозначается как F.

Так как AD является диаметром окружности, то угол ADB прямой. Значит, треугольник APD подобен треугольнику ADB. Из этого следует, что AD/DB = PD/AP = 5/4.

Также, так как CD является диаметром окружности, то треугольник CQD подобен треугольнику CDB. Из этого следует, что CD/DB = QD/CQ = 8/1 = 8.

Из этих двух соотношений получаем:

AD/DB = 5/4,

CD/DB = 8.

Рассмотрим треугольник AEB. Из теоремы касательной к окружности следует, что AE = BE. Обозначим AE как х. Тогда AB = 2х, и AD = 8 = PD + AP = 5x + 4x = 9x. Отсюда находим, что x = 8/9.

Таким образом, AB = 2х = 2(8/9) = 16/9.

Итак, длина стороны AB равна 16/9.