В прямоугольнике ABCD точка M — середина стороны BC, точка N — середина стороны CD, X — точка пересечения отрезков AN и MD, Y — точка пересечения отрезков AM и BN. Известно, что ∠DXN=50∘. Найдите величину угла BYM.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что так как M и N являются серединами сторон BC и CD соответственно, то MN || BD и MN = BD/2.

Так как X — точка пересечения отрезков AN и MD, то по теореме Чевы для треугольника ACD и точки X: AM/MN NX/XD DC/CA = 1. Подставляем известные значения:

1/2 NX/XD 1 = 1
NX/XD = 2.

Так как ∠DXN=50∘, то ∠NXD = 180 - 50 = 130∘. Значит, ∠NXM = 50∘ (так как MN || BD).

Теперь заметим, что BN/NA = DM/MA (так как Y — точка пересечения отрезков AM и BN), следовательно, треугольники AYB и XMD подобны. Значит, ∠YBM = ∠MDX = 130∘.

Итак, величина угла BYM равна 130°.