B равнобедренном треугольнике ABC на боковой стороне BC отмечена точка M такая, что отрезок MC равен высоте треугольника, проведенной к этой стороне, а на боковой стороне AB отмечена точка K такая, что угол KMC — прямой. Известно, что ∠BCK=25∘. Найдите угол BAC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим угол BAC через α.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол BAC равен углу BCA, то есть α = 180 - 2β.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то BM = MC, а также MB = MCtg(β) (где β = 25°). Таким образом, так как AC — биссектриса угла B, то AM = MC. То есть AM = MB = MCtg(β).

Так как угол KMC — прямой, то MK = MC*tg(β). Также, так как треугольник BMC равнобедренный и угол C равен 180 - 2β, то угол MBC равен β. Значит, в треугольнике BMC угол BMC = 180 - 2β = α.

Теперь рассмотрим треугольник AMK. В нем AM = MK и угол MAK = 90° - β. Также в треугольнике AMK угол MAK равен α. Значит, треугольники AMK и BMC подобны.

Получаем, что AM/BM = MC/CB. Подставляем AM = BM = MC*tg(β) и получаем:

MC*tg(β)/MC = MC/CB

tg(β) = 1/CB.

Таким образом, tg(25°) = 1/CB, откуда CB = 1/tg(25°).

Имеем, что тангенс 25° равен 0,4663, поэтому CB = 1/0,4663 ≈ 2,1442.

Теперь, так как CB = AC, то AC ≈ 2,1442.

Так как угол BAC равен углу BCA, то:

α = 180 - 2β ≈ 180 - 50 = 130°.

Итак, угол BAC равен 130°.