В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AH и медианы AA1, BB1 и CC1. Найдите сумму периметра и длин диагоналей четырехугольника с вершинами в точках A1, B1, C1 и H, если AB=10, AC=11, ∠C=60∘.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем третий угол треугольника ABC:

∠A + ∠B + ∠C = 180
∠A + ∠B + 60° = 180
∠A + ∠B = 120°

Так как треугольник остроугольный, то ∠A и ∠B оба меньше 90°. Для ∠A и ∠B справедливо следующее
∠A + ∠B = 120
2(∠A + ∠B) = 240
∠A + ∠B = 180°

Отсюда следует, что ∠A = ∠B = 90°. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный.

Найдем высоту треугольника ABC. Так как треугольник равнобедренный, высота AH является медианой и биссектрисой. Поэтому точка пересечения медиан и биссектрис лежит на стороне AC и делит ее пополам. Также, так как треугольник остроугольный, то высота AH также является медианой треугольника ABC.

Таким образом, AH = HC = AC/2 = 11/2 = 5.5

Теперь найдем длину стороны BC. Так как треугольник равнобедренный, то BC = AB = 10

Найдем длину биссектрисы треугольника ABC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то биссектриса бокового угла равна
BB1 = AB √(2(1 - cos∠C)) = 10 √(2(1 - cos60°)) = 10 √(2(1 - 0.5)) = 10√(2 0.5) = 10√1 = 10

Таким образом, BB1 = 10

Найдем точку пересечения медиан треугольника ABC. Так как она делит медиану в отношении 2:1, то точка H1(точка пересечения) = (2 C + A) / 3 => H1 = (2 5 + 10) / 3 = 20 / 3

Теперь у нас есть четырехугольник A1B1C1H с диагоналями A1H, B1C1 и A1B1. Найдем их длины:

A1H = AH = 5.
B1C1 = BC = 1
A1B1 = BB1 = 10

Теперь можем найти сумму периметра и длин диагоналей четырехугольника A1B1C1H:

Периметр = 5.5 + 10 + 10 = 25.
Сумма длин диагоналей = 5.5 + 10 + 10 = 25.5

Ответ: Сумма периметра и длин диагоналей четырехугольника A1B1C1H равна 51.