Основание прямого параллелепипеда ромб с диагоналями 6 и 8. Диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Чему равна высота параллелепипеда?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть (a) и (b) - длины диагоналей ромба, (h) - высота параллелепипеда. Так как диагональ ромба равна диагонали боковой грани параллелепипеда, то (2h = \sqrt{a^2 + b^2}), так как это прямоугольный треугольник.

Из условия задачи мы знаем, что (\angle ACB = 45^\circ), где (AC) и (BC) - диагонали ромба. Тогда, так как диагонали ромба это исходящие из вершины углы параллелограмма, можем разделить угол в прямоугольном треугольнике пополам и получить прямоугольный треугольник. Так как (h = \frac{AC \cdot BC}{2} = \frac{ab}{2}).

Теперь мы можем заменить (h = \frac{ab}{2}) равенством (2h = \sqrt{a^2 + b^2}) и решить уравнение: (ab = \sqrt{a^2 + b^2}).

Для примера, рассмотрим (a = 6) и (b = 8)
(6 \cdot 8 = \sqrt{6^2 + 8^2})
(48 = \sqrt{36 + 64})
(48 = \sqrt{100})
(48 = 10).

Таким образом, высота параллелепипеда равна 10.