Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O и перпендикулярны друг другу, основания AD = a и BD = b, a > b. Прямая, проходящая через точку O перпендикулярно стороне AB, пересекает сторону AB в точке M и сторону CD в точке N. Известно, что имеет место равенство AO * OC = BO * OD. Найдите длину отрезка MN.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины отрезков AM и MB через x и y соответственно. Тогда CD = a - x и AB = a + y.
Так как прямая MN проходит через точку O перпендикулярно стороне AB, то OM = x и ON = y.
Также заметим, что по условию имеет место равенство AO OC = BO OD, что равносильно (a + x)(a - x) = (b + y)(a - y), или a^2 - x^2 = ab + ay - by - y^2.
Поскольку a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) и x + y = a - b, подставим все это в уравнение, получим (a + b)(a - b) - (a - b) = ab + ay - by - y^2, сокращаем a - b и получаем ab = ay - by - y^2, или a = y - b - y, то есть b = y.
Таким образом, AM = x, AN = a - x, OM = x, ON = y. Теперь мы можем применить теорему Пифагора для треугольников AON и MON: (a - x)^2 + x^2 = MN^2.
Раскроем скобки и преобразуем это уравнение:
a^2 - 2ax + x^2 + x^2 = MN^2,
a^2 - 2ax + 2x^2 = MN^2,
(a - x)^2 = MN^2.
Отсюда получаем: MN = a - x = a - AM = AN. Таким образом, длина отрезка MN равна a - x.