В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB=3 и BC=4 через середины сторон AB и AC проведена окружность, касающаяся катета BC. Найдите длину отрезка гипотенузы AC, который лежит внутри этой окружности.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через D и E середины сторон AB и AC соответственно. Поскольку окружность касается стороны BC, то точка касания будет являться серединой этой стороны, обозначим ее F.

Так как D и E являются серединами сторон AB и AC, то треугольник DEF является подобным треугольнику ABC с коэффициентом подобия 1/2. Следовательно, EF=3/2, а DF=4.

Поскольку окружность описана около треугольника DEF, то треугольник DEF является прямоугольным. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике DF равенство DF^2=EF^2+DE^2 выполнено, что приводит к уравнению 4=(3/2)^2+DE^2. Отсюда находим DE=√7/2.

Так как AD является медианой треугольника ABC, то DE=1/2*AC, следовательно, AC=√7, что и является искомой длиной отрезка гипотенузы AC.