В четырехугольнике FORD FO=4, OR=7, RD=9, FD=6. Биссектрисы углов F и O пересекаются в точке M. Найдите разность расстояний от точки M до стороны OR и от точки M до стороны DR

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем площадь четырехугольника FORD. Используем формулу площади четырехугольника через стороны и смежные углы:

S = sqrt((p - FD)(p - OR)(p - RD)*(p - FO))

где p - полупериметр четырехугольника:

p = (FO + OR + RD + FD) / 2 = (4 + 7 + 9 + 6) / 2 = 26 / 2 = 13

S = sqrt((13 - 6)(13 - 7)(13 - 9)(13 - 4)) = sqrt(7649) = 6*sqrt(21)

Площадь четырехугольника равна 6*sqrt(21).

Далее, обозначим точку пересечения биссектрис в точке M, проведем высоту из точки M на сторону OR, обозначим точку пересечения высоты с OR за A.

Так как биссектрисы F и O пересекаются в точке M, то треугольники FMO и OMO равны по сторонам и углам.

Обозначим углы MFH и OMA за alpha, и углы MHF и MOA за beta. Тогда углы FMO и OMO равны alpha и beta соответственно. Пусть углы FOM и OMF равны gamma и delta соответственно.

Тогда по теореме о биссектрисе:

sin(FOM) / sin(MOH) = FO / MO = 4 / MO

sin(OMF) / sin(MOH) = MO / OF = MO / 6

Отсюда получаем:

4 = MO sin(MOH) / sin(FOM) и MO = 6 sin(FOM) / sin(MOH)

Из теоремы синусов в треугольнике FOM:

FO = MO*sin(MOH) / sin(FOM)

4 = MO * MO sin(MOH)/sin(FOM)

Откуда sin(MOH) = 4sin(FOM)/MO и аналогично sin(MOH) = 6sin(OMF)/MO

Образуем уравнение S для треугольника FOM:

S = 0.5 MO OR sin(MOH) = 0.5 MO OR 4 sin(FOM) / MO = 2 OR * sin(FOM)

S = 0.5 MO RD sin(MOH) = 0.5 MO RD 6 sin(OMF) / MO = 3 RD * sin(OMF)

2 OR sin(FOM) = 3 RD sin(OMF)

sin(FOM) = 3 RD / 2 OR * sin(OMF)

Следовательно, если обозначить точку пересечения высоты из M на сторону OR за A, то окажется, что MH / MA = 2/3

Аналогичными рассуждениями можно получить, что угол OMR делит сторону DR в отношении 3/2.

Таким образом, разность расстояний от точки M до стороны OR и от точки M до стороны DR равна 3/5 от высоты четырехугольника из точки M на обе стороны.