Найдите все значения параметра а при каждом из которых система уравнений2х^2+2у^2=4а4ху=4а-2имеет всего два решения

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Система уравнений имеет два решения, если она имеет только одно решение в каждом уравнении.

Итак, мы можем выразить x и y из первого уравнения:

2x^2 + 2y^2 = 4a
x^2 + y^2 = 2a
y^2 = 2a - x^2

Подставим это выражение во второе уравнение:

4xy = 4a - 2
4x(2a - x^2) = 4a - 2
8ax - 4x^3 = 4a - 2
4x^3 - 8ax + 4a - 2 = 0
x^3 - 2ax + a/2 - 1/2 = 0

Система имеет только одно решение, когда это кубическое уравнение имеет только один корень. Для этого корень должен иметь кратность 3.

Таким образом, мы можем найти значения параметра а, при которых это выполняется.