В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите расстояние между плоскостями а) ABB1 и DEE1 б) ABB1 и CFF1 в) ACC1 и FDD1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Рассмотрим плоскости ABB1 и DEE1.
Проведем высоту из вершины D на плоскость ABB1 и обозначим точку пересечения высоты с плоскостью как H. Точка H лежит на прямой DE и на перпендикуляре к плоскости ABB1, следовательно, треугольники ADH и B1EB подобны.

Так как AB = 1, то AD = DB = √2, а высота перпендикуляра из D на ABB1 равна √2/2.
По теореме Пифагора найдем HD: HD = √(√2/2)^2 - 1^2 = √(2/4 - 1) = √(-2/4) = √(-1/2).

Теперь найдем расстояние между плоскостями ABB1 и DEE1, равное HD = √(-1/2).

б) Рассмотрим плоскости ABB1 и CFF1.
Аналогично предыдущему случаю, проведем высоту из вершины C на плоскость ABB1 и обозначим точку пересечения высоты с плоскостью как K. Точка K лежит на прямой CF и на перпендикуляре к плоскости ABB1, следовательно, треугольники CKK1 и BKB1 подобны.

Так как CC1 = 1, то CK = KK1 = 1/2.
Также CD = AD = √2, и расстояние между плоскостями ABB1 и CFF1 равно CK = 1/2.

в) Рассмотрим плоскости ACC1 и FDD1.
Проведем прямую перпендикулярную к плоскости ACC1 из вершины F и обозначим точку пересечения с плоскостью как L. Треугольники FDL и MHL подобны, где M - середина DC.

Так как DM = √2/2, то MHL прямоугольный при вершине H. Найдем высоту HL: HL = √1 - (DM)^2 = √(1 - 2/4) = √(2/4).

Расстояние между плоскостями ACC1 и FDD1 равно HL = √(2/4).