А) В трeугoльникe ABC прoвeдeны высoты AA1 и BB1. Извeстнo, чтo AB=6, A1B1=3√2. Чeму равeн угoл ACB? (Первая лeмма o высoтах).
б) Угoл ACB трeугoльника ABC равeн 60°. Высoты AA1и BB1 пeрeсeкаются в тoчкe H, BH=3, HB1=2. Чeму равна высoта AA1? (Втoрая лeмма o высoтах).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Из первой леммы о высотах известно, что произведение высот треугольника равно произведению сторон, на которые они проведены.
Таким образом, AHAA1 = BHBB1
AHAA1 = 33√2 = 9√2

Так как треугольник ABC прямоугольный (по условию), то высоты будут являться его биссектрисами.
Для нахождения угла ACB воспользуемся теоремой косинусов:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2ABBCcos(ACB)
6^2 = AC^2 + (3√2)^2 - 263√2cos(ACB)
36 = AC^2 + 18 - 36*cos(ACB)

AC^2 = 18 - 36*cos(ACB)
AC^2 = 18(1 - 2cos(ACB))
2cos(ACB) = 1
cos(ACB) = 1/2
ACB = 60°

Из угла АСB равного 60° следует, что треугольник АНB равнобедренный. То есть АН = ВН = 3. АН = 3√2.
Теперь мы можем найти значение высоты АА1.
AH = √(AB^2 - BH^2) = √(6^2 - 3^2) = √27
AA1 = 9√2 / AH = 9√2 / √27 = 3√6

б) Воспользуемся второй леммой о высотах, которая гласит, что высоты треугольника равными частями делят стороны, на которые они опущены.
AH / BH = AA1 / BB1
AH / 3 = AA1 / 2
AH = 3AA1 / 2

Подставляем AH из первого уравнения:
3AA1 / 2 = 3
AA1 = 2