Биссектриса угла А параллелограмма АВСД пересекает продолжение стороны ВС за точку С в точке Р. Вписанная окружность треугольника АВР касается прямой ВР в точке С, а прямой АВ в точке Е. Найдите длину отрезка ВС, если АР =33, ЕС = 6.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим $\angle BAC = \alpha$. Так как биссектриса угла параллелограмма проходит через точку пересечения продолжения стороны $BC$ и диагонали $AC$, то по свойству биссектрисы треугольника $\triangle ABC$ имеем
[\frac{AB}{BC} = \frac{AR}{RC} = \frac{\sin (\alpha/2)}{\sin(180^\circ - \alpha / 2)}.]

Имеем $AR = 33$, поэтому $RC = 33 \cot (\alpha/2)$. Так как $CE = 6$, то с учетом теоремы синусов для треугольника $\triangle AEC$ получаем
[\frac{AC}{\sin\alpha} = \frac{6}{\sin(\alpha/2)},]
откуда $AC = 12 \cos(\alpha/2)$. Таким образом, $BC = AC - AC \cos(\alpha/2) = 12 (1 - \cos^2 (\alpha/2)) = 12 \sin^2 (\alpha/2).$

Имеем $\angle ABR = \angle ACR = 90^\circ - \alpha/2$, и так как окружность радиуса 6 касается отрезков $AB$ и $AC$, то $\triangle AEC \sim \triangle ABR$ с коэффициентом подобия $k = 6/(12\cos(\alpha/2)) = 1/2$. Следовательно,
[\frac{AB}{AC} = 1/2 \quad \text{и} \quad AB = AC/2 = 6,]
что влечет $\angle ABC = 90^\circ$. Таким образом, $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 36 + 144 = 180$, откуда $BC = 6\sqrt{5}$.