На катетах прямоугольного треугольника площади 1 как на диаметрах построены полукруги, расположенные вне этого треугольника. Найти сумму площадей этих полукругов, расположенных вне круга, описанного около исходного треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b. Тогда площадь треугольника равна ab/2 = 1.

Диаметры полуокружностей, построенных на катетах, равны a и b. Радиусы этих полуокружностей равны a/2 и b/2 соответственно.

Площадь каждой полуокружности равна pir^2/2, где r - радиус. Таким образом, площади полуокружностей, построенных на катетах, равны pi(a/2)^2/2 = pia^2/8 и pi(b/2)^2/2 = pi*b^2/8.

Сумма площадей этих полуокружностей равна pi*(a^2 + b^2)/8. Так как a^2 + b^2 = 2, то сумма равна pi/4.

Теперь построим вписанный в данный прямоугольный треугольник круг с радиусом R, где R - радиус круга, описанного около этого треугольника. Так как треугольник описан вокруг круга, диаметр этого круга равен длине гипотенузы прямоугольного треугольника, то есть R = sqrt(a^2 + b^2)/2 = sqrt(2)/2.

Площадь круга радиусом R равна pi*R^2 = pi/4.

Таким образом, сумма площадей полуокружностей, построенных на катетах, равна площади круга радиусом R, описанного около треугольника.