Найдите ординату точки, ближайшей к точке А(-1:0) и лежащей на кривой y=[tex]-\sqrt{-x+3}[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения ординаты точки, ближайшей к точке A(-1, 0) и лежащей на кривой y=-√(-x+3), нам нужно найти минимальное расстояние между точками (x, -√(-x+3)) и (-1, 0).

Расстояние между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) вычисляется по формуле d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2).

Имеем уравнение кривой y=-√(-x+3); поэтому y1 = -√(-x1+3) и y2 = 0.

Таким образом, минимальное расстояние d = √((x+1)^2 + (-√(-x+3))^2).

Для поиска минимального расстояния исследуем функцию d(x) = √((x+1)^2 + (-√(-x+3))^2) на промежутке x [2, 3] (т.к. x должен быть <= 3, чтобы в радикале было неотрицательное значение).

Сначала найдем производную функции d(x):
d'(x) = (1/2)(2(x+1) + 2(-√(-x+3))((-1/(2√(-x+3)))), упростим:
d'(x) = (x+1 - ((-x+3)/(√(-x+3))))
d'(x) = (x+1 + (x-3)/(√(-x+3)))

Приравняем производную к нулю и найдем корни уравнения:
(x+1 + (x-3)/(√(-x+3))) = 0
2x - 2sqrt(-x+3) - 6 = 0
2x = 2sqrt(-x+3) + 6
x = sqrt(-x+3) + 3
x^2 = x - 3
x^2 - x + 3 = 0

Дискриминант D = (-1)^2 - 431 = 1 - 12 = -11
Поскольку D < 0, то уравнение x^2 - x + 3 = 0 не имеет действительных корней.

Следовательно, нужно искать минимальное значение расстояния на границах интервала, т.е. для x = 2 и x = 3.

Таким образом, проверим значение расстояния для x = 2 и x = 3:

При x = 2:
d(2) = [(2 + 1)^2 + (-√(-2+3))^2 = √(3 + 1) = √4 = 2

При x = 3:
d(3) = [(3 + 1)^2 + (-√(-3+3))^2 = √(4 + 0) = √4 = 2

Минимальное расстояние равно 2 и достигается при x = 2 и x = 3.

Таким образом, точки на расстоянии 2 от точки A(-1, 0) и лежащие на кривой y=-√(-x+3) имеют ординаты -√1 = -1 и 0 соответственно.