В прямоугольном треугольнике ABC (угол C=90˚) разность между длинами медианы CK и высоты CM равна 7 см. Найдите отношение Rr, если площадь треугольника SΔABC = 144 см2. Где r и R– соответственно радиусы вписанной и описанной окружностей.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, поэтому:

SΔABC = 1/2 AB BC = 144

Так как у треугольника ABC прямой угол, медиана CK, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы:

CK = 1/2 * AB

Также из подобия треугольников можно найти, что высота CM равна половине гипотенузы, следовательно:

CM = 1/2 * BC

Из условия задачи известно, что разность между длинами медианы и высоты равна 7:

CK - CM =
1/2 AB - 1/2 BC =
AB - BC = 14

Теперь мы можем составить систему уравнений:

1) AB * BC = 28
2) AB - BC = 14

Решив эту систему, найдем длины катетов треугольника ABC: AB = 24, BC = 12.

Теперь можем найти гипотенузу и радиус вписанной окружности:

AC = √(AB^2 + BC^2) = √(24^2 + 12^2) = √(576 + 144) = √720 = 12√5

r = SΔABC / p = 144 / (1/2 (AB + BC + AC)) = 144 / (1/2 (24 + 12 + 12√5)) = 144 / (24 + 12 + 12√5) = 6 / (1 + √5)

Теперь найдем радиус описанной окружности. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, следовательно:

R = 1/2 AC = 1/2 12√5 = 6√5

Итак, отношение Rr равно:

Rr = (6√5) / (6 / (1 + √5)) = √5 (1 + √5) = √5 + 5.