Найдите площадь правильного треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 4 см. В ответ запиши результат деления площади на корень из трех.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Правильный треугольник-равносторонний. Пусть треугольник АВС, вписана окружность с центром О. Тогда точка О - это и точка пересечения высот, биссектрис и медиан этого треугольника. Проводим СН-высота из вершины С, где ОН-радиус вписанной окружности = 4. Рассмотрим треугольник АОН, он прямоугольный, угол АНО=90 градусов, угол НАО=60:2=30 градусов. АО=4*2=8, т.к. катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. По теореме Пифагора находим АН2=АО2-ОН2=64-16=48. Тогда АН=√48. Следовательно, АВ=2АН=2√48, так как СН-медиана и делит основание АВ пополам. Площадь треугольника АВС = 1/2 АВ*СН=1/2*2√48*12=12√48=48√3. Т.к. СН=СО+ОН=8+4=12.

Тогда в ответ пишем 48√3: √3 = 48.