В шар вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого наклонена к плоскости основания под углом 30° . Вычислить радиус и объём шара, если высота цилиндра равна 54 см .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус шара равен R, а высота цилиндра h = 54 см.

Так как диагональ осевого сечения цилиндра наклонена к плоскости основания под углом 30°, то радиус цилиндра равен r = Rcos(30°) = R √3 / 2.

Также известно, что высота цилиндра h = 54 см.

Объем цилиндра можно найти по формуле: V = π r^2 h.

Подставим значение r и h в формулу объема и упростим:

V = π (R √3 / 2)^2 * 54

V = π (3R^2 / 4) 54

V = 27πR^2

Так как шар вписан в цилиндр, то его радиус равен половине радиуса цилиндра: R = r / 2 = R * √3 / 4.

Тогда объем шара равен: V = (4/3) π R^3 = (4/3) π (R √3 / 4)^3 = (4/3) π (3√3 R^3 / 64) = π √3 R^3 / 16.

Таким образом, радиус шара и его объем равны соответственно:

R = 16 h / (3 √3) = 16 54 / (3 √3) ≈ 24.83 см

V = √3 R^3 / 16 = √3 (24.83)^3 / 16 ≈ 13002.86 см^3

Итак, радиус шара составляет около 24.83 см, а объем – около 13002.86 см^3.