Дан угол с вершиной С. Через точки А и В, лежащие на одной стороне угла Проведены прямые перпендикулярные биссектрисе угла C, они пересекают другую сторону угла в точках D и E соответственно. Найти отрезок АС, если СЕ=7 и АВ=3.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку прямые, проведенные через точки А и В, являются перпендикулярными биссектрисе угла C, то треугольники $\triangle ACS$ и $\triangle BCS$ являются прямоугольными и равнобедренными.

Так как CE = 7, то по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $\triangle CES$:

$CS = \sqrt{CE^2 + ES^2} = \sqrt{7^2 + AB^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$

То же самое мы можем сказать и о треугольнике $\triangle ABS$. Так как AB = 3, то по теореме Пифагора:

$BS = \sqrt{AB^2 + AS^2} = \sqrt{3^2 + AC^2} = \sqrt{9 + AC^2}$

Также мы знаем, что AS = SC (так как треугольник $\triangle ACS$ равнобедренный). Тогда:

$SC = \sqrt{58}$

$BS = \sqrt{9 + AC^2}$

Согласно теореме Пифагора применительно к треугольнику $\triangle BCS$:

$(BS + SC)^2 = BC^2$

$(\sqrt{9 + AC^2} + \sqrt{58})^2 = (2 \cdot \sqrt{58})^2$

$9 + AC^2 + 2\sqrt{9 + AC^2} \cdot \sqrt{58} + 58 = 4 \cdot 58$

$AC^2 + 2\sqrt{9+AC^2}\sqrt{58} + 67 = 232$

$AC^2 + 2\sqrt{522+58AC^2} = 165$

$AC^2 + 2\sqrt{58(9+AC^2)} = 165$

$AC^2 + 2 \cdot \sqrt{58} \cdot \sqrt{9 + AC^2} = 165$

Следовательно, $165 = 165$, и $AC = 9$.