Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника.Найдите стороны треугольника,если диаметр окружности равен d,а один из острых углов треугольника равен α .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть треугольник ABC прямоугольный с прямым углом в вершине C. Диаметр окружности d равен BC, а угол CAB равен α.

Так как угол CAB равен α, то угол ACB равен 90° - α.

Также, так как BC - диаметр окружности, то угол BAC равен 90°.

Из этого следует, что треугольник ABC - это прямоугольный треугольник.

Пусть AC = a, AB = b.

Тогда мы можем записать следующие соотношения:

AB^2 + AC^2 = BC^2
b^2 + a^2 = d^2

С другой стороны, так как угол CAB равен α, то tg(α) = a/b => a = b * tg(α).

Подставляя это в уравнение b^2 + a^2 = d^2, получаем:

b^2 + (b tg(α))^2 = d^2
b^2 + b^2 tg^2(α) = d^2
b^2 (1 + tg^2(α)) = d^2
b^2 (1 + tg^2(α)) = d^2
b^2 = d^2 / (1 + tg^2(α))

Таким образом, мы нашли выражение для стороны b:

b = d / sqrt(1 + tg^2(α))

Аналогично, находим выражение для стороны a:

a = b tg(α)
a = (d / sqrt(1 + tg^2(α))) tg(α)
a = d * tg(α) / sqrt(1 + tg^2(α))

Итак, стороны треугольника равны:

a = d * tg(α) / sqrt(1 + tg^2(α))
b = d / sqrt(1 + tg^2(α))