ABCD - правильный тетраэдр,длина ребра которого равна 4 см.Через точку О - середину ребра BC - перпендикулярно прямой CD проведена плоскость.Вычислите периметр получившегося сечения.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем высоту тетраэдра, опущенную на основание ABCD. Треугольник OCD является прямым, так как CD перпендикулярно плоскости, проходящей через точку О и параллельной прямой CD. Таким образом, OC и OD - это катеты, а CD - гипотенуза. По теореме Пифагора
$$OC^2 + OD^2 = CD^2$
$$OC^2 + (4/2)^2 = 4^2$
$$OC^2 + 4 = 16$
$$OC^2 = 12$
$$OC = 2\sqrt{3}\, \text{см}$$

Теперь найдем площадь сечения. Треугольник OBC является прямоугольным, так как OC перпендикулярно плоскости, проходящей через точку О и параллельной ребру BC. Поэтому
$$S_{OBC} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4 = 4\sqrt{3}\, \text{см}^2$$

Теперь найдем периметр сечения. Поскольку треугольник OBC - прямоугольный, проведем высоту из вершины B на гипотенузу OC
Площадь сечения равна сумме площадей треугольников OBC и OBD
$$S{\text{сечения}} = S{OBC} + S_{OBD} = 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\, \text{см}^2$$

Теперь найдем периметр сечения. Рассмотрим треугольник OBD. Он является равнобедренным, так как OD = OB, и у него мы уже знаем высоту, опущенную на основание - это OC = 2√3. Поэтому
$$P_{\text{сечения}} = 4 + 4 + OD = 8 + 2\sqrt{3}\, \text{см}$$

Таким образом, периметр сечения равен 8 + 2√3 см.