Около круга описана прямоугольная трапеция с острым углом альфа. Найти высоту трапеции, если её периметр равен P

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть основания трапеции равны a и b, а её высота h.

Так как трапеция описана около круга, то сумма длин двух дуг равна периметру трапеции
2πr = P,

где r - радиус описанной окружности трапеции.

Также, так как трапеция прямоугольная, можем написать равенство по теореме Пифагора для треугольника с катетами a и h
a^2 + h^2 = r^2.

Также, можем записать равенство для другого треугольника с катетами b и h
b^2 + h^2 = r^2.

Из этих двух уравнений получим
a^2 + h^2 = b^2 + h^2
a^2 = b^2
a = b.

Таким образом, основания трапеции равны, и это означает, что трапеция - равнобокая.

Из равнобокости трапеции следует, что радиус описанной окружности равен половине её диагонали. Так как диагональ трапеции равна сумме катетов (a + b), то радиус описанной окружности равен (a + b) / 2.

Теперь можем записать уравнение для периметра трапеции через основания и высоту
P = a + b + 2(sqrt(a^2 + h^2)) = 2a + 2(sqrt(a^2 + h^2))

Подставим равенство a = b и найдем высоту h
P = 2a + 2(sqrt(2a^2 + h^2))
P = 2a + 2(sqrt(2a^2 + a^2))
P = 2a + 2(sqrt(3a^2))
P = 2a + 2a sqrt(3)
P/2 = a (1 + sqrt(3))
a = P / [2 * (1 + sqrt(3))].

Таким образом, высоту трапеции можно найти как
h = sqrt(r^2 - a^2)
h = sqrt[(a + b)^2/4 - a^2]
h = sqrt[(a^2 + 2ab + b^2)/4 - a^2]
h = sqrt[(3a^2 + 2ab + b^2)/4 - a^2]
h = sqrt[(3a^2 + 2a^2 + a^2)/4 - a^2]
h = sqrt[(6a^2)/4 - a^2]
h = sqrt[(3a^2) - a^2]
h = sqrt[2a^2]
h = a sqrt(2) = P / [2 (1 + sqrt(3))] * sqrt(2).

Таким образом, найдена высота трапеции в зависимости от периметра.