Для начала найдем радиус вписанной сферы в треугольную боковую грань пирамиды.
Пусть сторона четырехугольной пирамиды равна a = 6√2 см.
Так как у нас правильная пирамида, то боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Рассмотрим одну из боковых граней пирамиды:
Пусть радиус описанной окружности боковой грани равен r, высота боковой грани равна h, а сторона боковой грани равна a.
Так как у нас равнобедренный треугольник, то проведем биссектрису угла между основанием и боковой гранью. Эта биссектриса является высотой треугольника.
Получаем два равнобедренных прямоугольных треугольника со сторонами r, r, h и a/2, h, r.
По теореме Пифагора для каждого из этих треугольников имеем r^2 + (a/2)^2 = h^2 r^2 + h^2 = (a-r)^2.
Выразим r и h из этих уравнений h^2 = r^2 + (a/2)^2 h^2 = (a-r)^2 - r^2.
Подставим выражение для h^2 из первого уравнения во второе r^2 + (a/2)^2 = (a-r)^2 - r^2 r^2 + a^2/4 = a^2 - 2ar + r^2 - r^2 a^2/4 = a^2 - 2ar 0 = 3a^2 - 8ar.
Отсюда получаем a = 8r/3.
Теперь можем найти радиус описанной окружности прямоугольной боковой грани пирамиды:
Для начала найдем радиус вписанной сферы в треугольную боковую грань пирамиды.
Пусть сторона четырехугольной пирамиды равна a = 6√2 см.
Так как у нас правильная пирамида, то боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Рассмотрим одну из боковых граней пирамиды:
Пусть радиус описанной окружности боковой грани равен r, высота боковой грани равна h, а сторона боковой грани равна a.
Так как у нас равнобедренный треугольник, то проведем биссектрису угла между основанием и боковой гранью. Эта биссектриса является высотой треугольника.
Получаем два равнобедренных прямоугольных треугольника со сторонами r, r, h и a/2, h, r.
По теореме Пифагора для каждого из этих треугольников имеем
r^2 + (a/2)^2 = h^2
r^2 + h^2 = (a-r)^2.
Выразим r и h из этих уравнений
h^2 = r^2 + (a/2)^2
h^2 = (a-r)^2 - r^2.
Подставим выражение для h^2 из первого уравнения во второе
r^2 + (a/2)^2 = (a-r)^2 - r^2
r^2 + a^2/4 = a^2 - 2ar + r^2 - r^2
a^2/4 = a^2 - 2ar
0 = 3a^2 - 8ar.
Отсюда получаем
a = 8r/3.
Теперь можем найти радиус описанной окружности прямоугольной боковой грани пирамиды:
r = a / (8/3) = 3/8 * 6√2 = 9√2 / 4 = 9√2/4 см.
Теперь найдем радиус вписанной сферы по формуле:
r_sphere = r / √2 = (9√2/4) / √2 = 9/4 см.
Итак, радиус вписанной сферы равен 9/4 см.