В параллелограмме АВСD биссектриса угла С пересекает сторону АD в точке M и прямую AB в точке K. Найдите периметр треугольника AМК, если CD = 12, СВ = 30, СМ = 14.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из свойств параллелограмма следует, что треугольники СМК и СВА подобны, так как углы при основании параллельны и биссектриса делит их.

Таким образом, мы можем составить пропорцию для подобных треугольников:

(СМ / АМ) = (СК / ВА)

14 / (АМ + 14) = (12 + К) / 30
14 30 = 12 (АМ + 14) + К * 14
420 = 12АМ + 168 + 14К
12АМ + 14К = 252

Также заметим, что трапеция СМКВ является равнобокой, так как BC = CM = 14, а также треугольники СМК и ВКБ подобны по тому же свойству биссектрисы. Таким образом, мы знаем, что ВМ = КМ = 7.

Теперь мы можем записать формулу для периметра треугольника АМК:

Периметр = АМ + МК + АК
Периметр = АМ + КМ + ВМ + КМ + АК
Периметр = АМ + 2КМ + ВМ + АК
Периметр = АМ + 14 + 7 + АК
Периметр = АМ + АК + 21

АМ + АК = 252
АМ + АК + 21 = 273

Периметр = 273

Таким образом, периметр треугольника АМК равен 273.