В треугольниках ABC и А1B1С1 медианы ВМ и B1М1 равны, АВ =А1B1, АС=А1С1. Докажите, что ΔABC =ΔA1B1C1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Поскольку медианы BM и B1M1 равны, исходя из свойств медиан треугольника, точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1. То есть BM = 2MM1 и B1M1 = 2M1M.

Также, по условию АВ = А1B1 и АС = А1С1.

Проведем высоту AM' из точки M на сторону АС1.

Поскольку AM' является высотой треугольника ABC, то треугольник ABM' подобен треугольнику AMM'.

Из подобия треугольников ABM' и AMM' получаем:

AB/AM' = AM/MM'

AB = 2AM' (так как AM = MM')

По условию АВ = А1B1 => 2AM' = A1B1. Из этого следует, что AM' = A1B1/2.

Таким образом, АМ' и B1M1 параллельны и равны, значит AB1M' и AB1M1 – параллельные прямые, следовательно три угла при вершинах А и B равны.

Точно таким же образом можно показать, что треугольники АСM' и С1B1M1 равны.

Итак, у нас есть две пары равных углов: углы при вершинах А и В, а также углы при вершинах А и С. То есть углы АВС и А1B1C1 равны друг другу.

Теперь мы знаем, что два треугольника имеют равные углы при вершинах. Поскольку у этих треугольников также равны две стороны (по условию), то по теореме об углу-при-противравной стороне эти треугольники равны.

Таким образом, ΔABC = ΔA1B1C1.