Стороны треугольника относятся как 4:5:7.Вычислить стороны треугольника, если в Триугольнике вписана окружность с радиусом (корень из 6).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть меньшая сторона треугольника равна 4x, средняя - 5x, а большая - 7x
Тогда радиус вписанной окружности равен ( r = \sqrt{6} ).

Формула для радиуса вписанной окружности в равнобедренном треугольнике
[ r = \sqrt{ \frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p} } ]
где a, b, c - стороны треугольника, p - полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника
[ p = \frac{4x + 5x + 7x}{2} = 8x ].

Тогда подставляем известные значения в формулу для радиуса вписанной окружности и получаем
[ \sqrt{6} = \sqrt{ \frac{(8x-4x)(8x-5x)(8x-7x)}{8x} } = \sqrt{ \frac{12x^3}{8x} } = \sqrt{ \frac{3}{2} (x^2) } ]
[ \sqrt{6} = x \sqrt{3} ].

Таким образом, x = ( \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} ).

Теперь можно найти стороны треугольника
Меньшая сторона: 4x = 4 ( \sqrt{2} )
Средняя сторона: 5x = 5 ( \sqrt{2} )
Большая сторона: 7x = 7 * ( \sqrt{2} ).

Ответ: Меньшая сторона равна 4( \sqrt{2} ), средняя - 5( \sqrt{2} ), а большая - 7( \sqrt{2} ).