В трапеции АВСД с основаниями ВС и АД диагонали АС и ВД пересекаются в точке О. Докажите равенство площадей треугольников АОВ и СОД

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что треугольники АОВ и СОД имеют общую высоту, опущенную из вершины О на сторону CD.

Так как отрезки AD и BC параллельны, то углы АОВ и СОД соответственно равны углам ACD и CBD (по теореме об оптической оси). То есть треугольники АОВ и СОД подобны.

Так как треугольники подобны и имеют общую высоту, их площади относятся как квадраты соответствующих сторон. То есть S(AOV) : S(SOD) = AO² : SO² = (AO/SO)².

Но так как треугольники АОВ и СОД подобны, то отношение длин сторон AO и SO равно отношению длин сторон АС и ВD (по условию задачи).

Таким образом, S(AOV) : S(SOD) = (AC/BD)² = 1, что и требовалось доказать.