Через произвольную точку D, основания AC равнобедренного треугольника ABC проведены прямые ,параллельные боковым сторонам треугольника и пересекающими их в точках M и M. Найти периметр BMDN, если AB=10 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия следует, что треугольник BMD равнобедренный, так как BM и DM параллельны боковым сторонам исходного равнобедренного треугольника, а B и D лежат на одинаковом расстоянии от стороны BC. Значит, BM=MD=x.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AM=MC=5 см.

Также, так как AM параллельна BC, то угол AMB=BCA и угол ACB=BMN, где N - точка пересечения BC с прямой, проведенной через D и параллельной стороне CA. Значит, угол ADN=AMC=ABC и треугольник ADD равнобедренный.

Так как AD=CD=10 см, то AN=NC=5 см.

Теперь рассмотрим треугольник BMD. Мы знаем, что BM=DM=x, угол BMD=90 градусов (так как BM параллельна CA) и угол BDM=BCA (так как BD параллельна AC). Так как угол BCA=ABC=36 градусов (из равнобедренности треугольника ABC), то получаем, что угол BDM=36 градусов.

Теперь можем вычислить стороны треугольника BMD. По теореме косинусов:

BD^2=BM^2+DM^2-2BMDMcos(BDM)
BD^2=x^2+x^2-2xxcos(36)
BD^2=2x^2-2x^2*cos(36)
BD^2=2x^2(1-cos(36))

Так как угол 36 градусов соответствует углу 72 градусам в правильном пятиугольнике, то cos(36)=cos(180-72)=cos(72)=-cos(108). Следовательно, BD^2=2x^2(1+cos(108))

Так как угол 108 градусов соответствует углу 72 в правильном пятиугольнике, то cos(108)=cos(180-72)=-cos(72). Следовательно, BD^2=2x^2(1-cos(72))

Так как угол 72 градуса соответствует углу 36 в правильном пятиугольнике, то cos(72)=cos(180-108)=cos(108). Следовательно, BD^2=2x^2(1+cos(36))

Таким образом, BD^2=2x^2(1+cos(36))=2x^2(1+cos(36))=2x^22cos(36)=4x^2*(1-cos(36))

BD=2xsqrt(1-cos(36))=2xsin(36)

Так как угол 36 градусов соответствует углу 72 в правильном пятиугольнике, то sin(36)=sin(72)=sqrt(5-1)/4=sqrt(5+sqrt(5))/4. Следовательно, BD=x*sqrt(5+sqrt(5))/2

Так как AD-CD=10 см, то DN=5-x

Наконец, найти периметр треугольника BMDN:
P=BMD+BM+DN
P=x+x+x+5-x
P=2x+5

P=2*5+5=15 см

Итак, периметр треугольника BMDN составляет 15 см.