Точка D находится на расстоянии 9 см от вершин прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C, AC= 8 cм , BC=6 см. Найдите расстояние от точки D до плоскости треугольника ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи можно воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости
Расстояние от точки до плоскости можно определить как модуль проекции вектора, направленного из точки вдоль нормали к плоскости.

Сначала найдем нормаль к плоскости треугольника ABC
Нормаль к плоскости можно получить из векторного произведения векторов, лежащих в плоскости
Векторами, лежащими в плоскости, являются векторы AB= (6, 8, 0) и AC= (-8, 0, 6)
Нормаль к плоскости будет равна их векторному произведению
n = AB x AC = (86 - 0(-8), -(66-08), 68 - (-80)) = (48, -36, 48).

Теперь нормируем вектор нормали
|n| = sqrt(48^2 + (-36)^2 + 48^2) = sqrt(2304 + 1296 + 2304) = sqrt(5904) = 2*sqrt(741).

Таким образом, нормированный вектор нормали будет равен
n' = (48/(2sqrt(741)), -36/(2sqrt(741)), 48/(2*sqrt(741))) = (4/sqrt(741), -3/sqrt(741), 4/sqrt(741)).

Теперь найдем вектор, направленный от точки D до плоскости треугольника ABC
Проекция этого вектора на нормаль к плоскости равна расстоянию от точки D до плоскости
d = |h| = |DD'|, где D' - проекция точки D на плоскость.

Вектор, направленный от точки D к плоскости, можно найти как разность вектора OD (O - точка, принадлежащая плоскости) и проекции вектора OD на нормаль к плоскости
OD = (x_D, y_D, z_D), D' = (x_D', y_D', z_D').

Сначала найдем координаты точки D'
Для этого найдем координаты точки B (6, 0, 0) и проецируем их на плоскость треугольника ABC. В данном случае проекция B на плоскость равна самой точке B, так как B лежит в плоскости треугольника
Теперь считаем косинус угла между нормалью к плоскости и вектором OD
cos(OD, n') = ((OD)n')/(|OD||n'|), где (*) - скалярное произведение векторов.

Подставляем известные значения
cos(OD, n') = ((x_D, y_D, z_D)(4/sqrt(741), -3/sqrt(741), 4/sqrt(741))) / (|OD|2*sqrt(741)).

Зная, что скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих компонент, можем найти
cos(OD, n') = 4x_D/sqrt(741) - 3y_D/sqrt(741) + 4z_D/sqrt(741) / (sqrt(x_D^2 + y_D^2 + z_D^2)2*sqrt(741)).

Так как угол между вектором OD и плоскостью должен быть прямым, то cos(OD, n') = 0
Следовательно: 4x_D - 3y_D + 4*z_D = 0.

Теперь найдем расстояние от точки D до плоскости
d = sqrt(x_D^2 + y_D^2 + z_D^2).

Таким образом, для того чтобы найти расстояние от точки D до плоскости треугольника ABC необходимо решить следующие уравнения
4x_D - 3y_D + 4*z_D = 0
d = sqrt(x_D^2 + y_D^2 + z_D^2).