Четырёхугольник ABCD - параллелограмм. Прямая АК пересекает прямую ВС в точке Е, точка К лежит на стороне CD. Найдите отношение площадей треугольников АВЕ и СКЕ, если AD=12, СЕ=4.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи мы имеем, что прямая АК делит сторону CD в отношении CK:KD, то есть CK/KD = CE/ED = 4/x.

Так как ABCD - параллелограмм, то AD = BC = 12.

Площадь треугольника АВЕ равна (1/2)ABEV, где EV - высота треугольника.

Из подобия треугольников АВЕ и СКЕ получаем, что AB/CK = AE/CS. Заметим, что AB + BC = AC, соответственно AC = 24. Также AC/CS = 3, то есть CS = 8.
Таким образом, CK = 16.

Теперь можем выразить ED:
CK/KD = CE/ED,
16/x = 4/(12-x),
16(12-x) = 4x,
192-16x = 4x,
192 = 20x,
x = 9.6.

Теперь можем найти КЕ:
KE = CK - CE = 16 - 4 = 12.

Площадь треугольника CKC = (1/2)CKKE = (1/2)1612 = 96.

Теперь можем найти отношение площадей треугольников АВЕ и СКЕ:
S(ABE)/S(SKE) = (S(ABE))/(S(CKE) + S(CKS)) = (S(ABE))/(S(CKE) + S(CKC)) = (S(ABE))/(96 + 96) = (S(ABE))/192.

Так как EV = 8, то S(ABE) = (1/2)ABEV = (1/2)128 = 48.

Отношение площадей треугольников АВЕ и СКЕ равно 48/192 = 1/4.

Итак, отношение площадей треугольников АВЕ и СКЕ равно 1:4.