Диагональ AC трапеции ABCD является биссектрисой ее острого угла A и делит диагональ BD этой трапеции в отношении m:n (считая от B). Точка M пересечения диагоналей трапеции удалена от боковой стороны AB на расстояние a, а ее средняя линия равна b. Найти площадь треугольника BMC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AC делит BD в отношении m:n, тогда можно найти длины отрезков BD:

BD = AB + AD = AB + \frac{m}{m+n}CD

BD = BC + CD = BC + \frac{n}{m+n}CD

Из того, что AC - биссектриса угла A, следует, что треугольники ABC и ADC подобны. Тогда:

\frac{BC}{AB} = \frac{DC}{AD} => \frac{BC}{AB} = \frac{CD}{AB + \frac{m}{m+n}CD} => \frac{BC}{AB} = \frac{CD}{BD}

так как BC = CD - a, а AB + AD = AB + CD = BD, получаем

\frac{CD - a}{AB} = \frac{CD}{BD} => \frac{CD - a}{AB} = \frac{CD}{AB + \frac{m}{m+n}CD} => AB = \frac{m}{m+n}CD - a

Площадь треугольника BMC равна половине произведения его базы и высоты. Найдем высоту треугольника BMC:

AC = 2 \sqrt{AB \cdot CD}

AC = 2 \sqrt{(\frac{m}{m+n}CD - a) \cdot CD}

AC = 2 \sqrt{\frac{m}{m+n}CD^2 - aCD}

AC = 2 \sqrt{\frac{m}{m+n}CD^2 - a \cdot BD \cdot \frac{m}{m+n}}

Тогда площадь треугольника BMC равна

S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{\frac{m}{m+n}CD^2 - a \cdot BD \cdot \frac{m}{m+n}} \cdot b = \sqrt{\frac{m}{m+n}CD^2 - a \cdot BD \cdot \frac{m}{m+n}} \cdot b