Дан треугольник ABC. Окружность, построенная на стороне AB, как на диаметре, пересекает стороны BC и AC в точках D и F. Найдите отношение площадей Sabc и Sdcf, если AB=6 FD=2sqrt2 (sqrt - корень)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем площадь треугольника ABC с помощью формулы Герона, где p - полупериметр треугольника:

p = (AB + BC + CA) / 2 = (6 + BC + CA) / 2

Sabc = sqrt(p (p - AB) (p - BC) * (p - CA))

Теперь найдем площадь треугольника DCF. Так как BF является диаметром окружности, то угол BCF = 90 градусов. Таким образом, треугольник BCF является прямоугольным. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

Scf = 0.5 BC CF

Также заметим, что треугольники ABC и DCF подобны (по признаку схожести двух треугольников), откуда следует, что:

AB/CF = BC/DF

CF = (BC * AB) / DF

Следовательно,

Scf = 0.5 BC ((BC AB) / DF) = (BC^2 AB) / (2DF)

Площадь треугольника DCF можно также найти по формуле Герона для треугольника DCF:

p' = (DF + CF + CD) / 2 = (2sqrt(2) + (BC^2 AB) / (2DF) + BC) / 2

Sdcf = sqrt(p' (p' - DF) (p' - CF) * (p' - CD))

Теперь можно найти отношение площадей Sabc и Sdcf:

Отношение площадей = Sabc / Sdcf = sqrt(p (p - AB) (p - BC) (p - CA)) / sqrt(p' (p' - DF) (p' - CF) (p' - CD))