Найдите объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1ABCDA_1 B_1 C_1 D_1ABCDA1 B1 C1 D1 , если AC=15AC=15AC=15 см, DC1=413DC_1=4 \sqrt{13}DC1 =413 см, DB1=17DB_1=17DB1 =17 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим: AC=aAC=aAC=a, DC1=bDC_1=bDC1 =b, DB1=cDB_1=cDB1 =c.

Так как векторы AB, AD и AC перпендикулярны, то из Pythagoras' theorem следует

AB^2+AD^2=AC^2AB^2+AD^2=AC^2AB2 +AD2 =AC2,

a^2+b^2=(15)^2,

a^2+b^2=225.

Таким образом, a=15a=15a=15 см. Теперь можем приступить к определению b и c.

Из подобия треугольников DB_1C_1 и ACDAСD:DB1 =ACDC1 =DB1 ,

DB_1=CD_1×ADDB_1=C D_1 \times ADDB1 =CD1 ×AD,

c=c×15c=c \times 15c=c×15.

Таким образом, с=17c=17c=17 см. Подставим данное значение с=17c=17c=17 в значение вектора c и найдем b:

b=b×4√13b=b \times 4\sqrt{13}b=b×4 13 .

Из теоремы Пифагора и подставив данные значения найдем значение b:

(15)^2+b^2=(4√13)^2(15)^2+b^2=(4 \sqrt{13})^2(15)2+b2 =413 2,

225+b^2=16×13,

225+b^2=208,

b^2=208−225=−17.

Отсюда следует, что b=−√17b=-\sqrt{17}b=−17 .

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его трех сторон:

V=abc=15×4√13×17=930√13 см³.

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1ABCDA_1 B_1 C_1 D_1ABCDA1 B1 C1 D1 составляет 930√13 см³.