Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат. Диагональ параллелепипеда равна d и составляет с боковой гранью угол 30 градусов. Найдите его объем.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сторона квадрата, являющегося основанием параллелепипеда, равна a.

Так как диагональ параллелепипеда равна d, то по теореме Пифагора можем записать
a^2 + a^2 = d^
2a^2 = d^
a = d/√2

Также известно, что диагональ параллелепипеда составляет с боковой гранью угол 30 градусов. Зная, что сторона квадрата равна a = d/√2, можем записать
cos(30) = a /
cos(30) = (d/√2) /
√3 / 2 = 1 / √
√3 = 2 / √
√6 = 2

Теперь можем найти объем параллелепипеда
V = a^2
V = (d^2 / 2)
V = (d^2 * h) / 2

Так как площадь боковой грани параллелепипеда равна a h, а sin(30) = 1 / 2, то
sin(30) = (a h) /
1 / 2 = (d / √2 * h) /
1 / 2 = h / √
h = √2 / 2

Теперь можем подставить выражение для h в формулу для объема параллелепипеда
V = (d^2 √2/2) /
V = (d^2 √2) / 4

Итак, объем прямоугольного параллелепипеда равен (d^2 * √2) / 4.